Espacios vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES

En realidad, los vectores de Rn y las matrices son dos ejemplos muy importantes de aquellos conjuntos en los cuales hay definidas dos operaciones como la suma y la multiplicación por escalar, las cuales tienen ciertas propiedades (como las probadas para los vectores de Rn y las matrices).

Sea V un conjunto no vacío en el cual se han definido dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por escalar (dados los elementos u y v de V y un escalar λ de R, la suma de u y v la denotamos u + v y la multiplicación por escalar de λ por u la denotamos λu). Si las siguientes propiedades o axiomas se satisfacen para todo u, v y w de V y para todo par de escalares α y β de R , entonces se dice que V es un espacio vectorial real y sus elementos son llamados vectores.

1.    u + v ∈ V . Propiedad clausurativa para la suma.

2.     u + v = v + u. Propiedad conmutativa para la suma.

3.    (u + v) + w = u + (v + w). Propiedad asociativa para la suma.

4.     Existe un único elemento 0 ∈ V , tal que u + 0 = u, para todo u ∈ V . Propiedad modulativa para la suma.

5.     Para cada u ∈ V , existe un único elemento −u ∈ V , tal que u + (−u) = 0. Existencia del opuesto para la suma.

6.    αu ∈ V . Propiedad clausurativa para la multiplicación por escalar.

7.     α(u + v) = αu + αv. Propiedad distributiva respecto la suma de vectores.

8.     (α + β)u = αu + βu. Propiedad distributiva respecto la suma de escalares.

9.     α(βu) = (αβ)u.

10.  10. 1u = u.

se define como un conjunto de elementos en el cual están definidas dos operaciones suma y producto por escalar que satisfacen las 10 propiedades anteriores y que no se especifica la naturaleza de los elementos de V ni de las operaciones.

 

 

Qué es un subespacio vectorial.

 

Sea V un espacio vectorial y sea H un subconjunto de V . Si H es espacio vectorial con los mismos escalares y las mismas operaciones que V , decimos que H es un subespacio de V .

 

Para demostrar que un subconjunto de un espacio vectorial es en si mismo un espacio vectorial, no es necesario mostrar que se satisfacen los 10 axiomas, como vimos en el Ejemplo 5; basta con verificar solo dos de los 10 axiomas de la definición, como lo establece el siguiente teorema. Teorema 1. [Caracterización de Subespacio] Sea V un espacio vectorial y H un subconjunto no vacío de V . H es un subespacio vectorial de V , si y solo si, los elementos de H satisfacen las propiedades clausurativas para la suma y el producto por escalar (Axiomas 1 y 6).

 

Veamos que tanto la suma como la multiplicación por escalar son cerradas en G. Sean u y v dos vectores de G y λ un número real. Por la definición de conjunto generado, existen escalares            αi y βi , para i = 1, 2, . . . n

 

tales que

 

 u = α1u1 + α2u2 + · · · + αkuk y v = β1u1 + β2u2 + · · · + βkuk,

 

por lo tanto,

 

u + v = (α1u1 + · · · + αkuk) + (β1u1 + · · · + βkuk) = (α1 + β1)u1 + · · · + (αk + βk)uk  y

 λu = λ(α1u1 + α2u2 + · · · + αkuk) = (λα1)u1 + (λα2)u2 + · · · + (λαk)uk;

 

 es decir,

 

 u + v ∈ G y λu ∈ G.

 

Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V

 

Teorema de sub espacio

 

Un subconjunto no vació de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

 

Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio

 

i) Si x € H y y € H, entonces x + y € H.

 

ii) Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.

 

Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.

 

Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que:

x + y y αX están en H cuando x y y están en H y α es un escalar.

 

PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL

 

1). El vector cero de V está en H.2

 

2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en 

H, la suma u + v está en H.

 

3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada

u en H y cada escalar c, el vector u está en H.

 

combinación lineal

 

conjunto generado e independencia lineal que se estudiaron para vectores de Rn en el Capítulo 2, a los vectores abstractos (elementos de un espacio vectorial). En un espacio vectorial, dado un conjunto de elementos del espacio, se puede construir un sin número de elementos del espacio al combinar las operaciones básicas, como lo planteamos en la siguiente definición. Definición 3: [Combinación Lineal] Dados V , un espacio vectorial, v1, v2, . . . , vn, vectores de V , y λ1, λ2, . . . , λn, escalares, decimos que v = λ1v1 + λ2v2 + · · · + λnvn es una combinación lineal de los vectores v1, v2, . . . , vn. A los escalares λ1, λ2, · · · , λn se les llama coeficientes de la combinación lineal. Si todos los escalares son cero, diremos que tenemos la combinación lineal trivial de los vectores v1, v2, . . . , vn.

 

Bases y Dimensión

 

Se trata del concepto de base, el cual define un conjunto de vectores que permite describir eficientemente2 el espacio vectorial y sus propiedades.

Base: Si B es un subconjunto no vacío del espacio vectorial V , diremos que B es una base de V , si y solo si, el conjunto B satisface las siguientes condiciones, 1. B es un conjunto linealmente independiente. 2. B es un conjunto generador de V .

Teorema 6. [Existencia de una Base] Todo espacio vectorial, excepto el espacio vectorial trivial V = {0}, tiene al menos una base. En los ejemplos, también pudimos observar que al plantear las ecuaciones que nos permiten concluir que un conjunto de vectores es una base, llegamos a un sistema de ecuaciones lineales con solución única, lo que se puede enunciar como el siguiente teorema. Teorema 7. [Caracterización de una Base] Un subconjunto B = {v1, v2, . . . , vn} de un espacio vectorial V es una base de V , si y solo si, para cada vector v de V existen escalares únicos λ1, λ2, . . . , λn tales que v = λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn.

Teorema 8. [Propiedad Maximal de un Conjunto l.i.] Si el espacio vectorial V tiene un conjunto generador de n elementos, entonces cualquier subconjunto de V con más de n elementos es l.d. En otras palabras, cualquier conjunto de vectores l.i. de V tiene a lo sumo el número de vectores de un conjunto generador.

Teorema 9. [Característica Común de las Bases] Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen igual número de elementos.

 

Dimensión: Si las bases de un espacio vectorial V tienen n elementos, diremos que la dimensión de V es n, lo que expresaremos como dim(V ) = n. En caso que V = {0}, por conveniencia, diremos que el espacio vectorial tiene dimensión 0, y en caso que un espacio vectorial no tenga una base finita.

Coordenadas Respecto a una Base Ordenada

 

Vector de Coordenadas] Sea B = {v1, v2, . . . , vn} una base (ordenada) del espacio vectorial V . Como para todo v ∈ V , existen escalares únicos λ1, λ2, . . . , λn tales que λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn = v, al vector de Rn [v]B =   λ1 λ2 . . . λn   lo llamaremos vector de coordenadas de v respecto a la base ordenada B. Claramente, si cambiamos el orden de los vectores de una base, el vector de coordenadas puede cambiar, asi como cuando cambiamos la base.

 

La ecuación que aparece en la parte inferior del gráfico anterior, P2w = P1u, la llamamos ecuación cambio de base ya que permite hallar las coordenadas de un vector en una base a partir de las coordenadas del mismo vector en la otra base.

 

Rango y Nulidad de una Matriz

 

Ellos son el espacio nulo y el espacio columna: NA = {x ∈ R n : Ax = 0} y CA = {b ∈ R m : Ax = b, para algún x ∈ R n } , respectivamente. En efecto, por el Teorema 1, para demostrar que dada una matriz A de tamaño m × n, NA y CA son subespacios vectoriales de Rn y Rm, respectivamente, basta con demostrar que se satisfacen la propiedades clausurativas tanto para la suma, como para el producto por escalar

Definición 9: [Nulidad de una Matriz ] Dada una matriz A, definimos ν(A), la nulidad de A, como la dimensión del espacio nulo de A.

 Definición 10: [Rango de una Matriz ] Dada una matriz A, definimos ρ(A), el rango de A, como la dimensión del espacio columna de A.

Producto Escalar y Bases Ortonormales en Rn

Esta operación nos permitió caracterizar los vectores ortogonales: dos vectores u y v de Rn son ortogonales, si y solo si, su producto escalar es 0. En general, si en un espacio vectorial definimos una operación que cumpla ciertas propiedades básicas como las del producto escalar, podemos extender el concepto de ortogonalidad.

 

Hablaremos de un conjunto de vectores ortogonales, cuando tenemos un conjunto de vectores que dos a dos son ortogonales, como lo planteamos en la siguiente definición. 5El producto escalar definido en Rn es solo un caso particular de lo que conocemos como Producto Interno de un espacio vectorial, y un producto interno en un espacio vectorial V es una función que asigna a cada par de vectores u, v ∈ V un número real hu, vi y satisface las siguientes propiedades, para todo u, v, w ∈ V y todo α ∈ R,

Proyección ortogonal

Definición 15: [Ortogonalidad a un Subespacio] Diremos que un vector u ∈ Rn es ortogonal a un subespacio S de Rn, si y solo si, el vector u es ortogonal a todos y cada uno de los vectores del subespacio S; es decir,

 u · v = 0 para todo v ∈ S.

 

 

Factorización QR

 

De la misma forma como el algoritmo de Eliminación de Gauss nos permitió factorizar una matriz como el producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, el Proceso de Gram-Schmidt nos permite factorizar una matriz como el producto de dos matrices, una ortonormal y otra triangular superior. Aunque el resultado es válido para cualquier matriz de tamaño m × n, en el siguiente teorema, nos limitamos al caso de las matrices de rango completo (matrices cuyo rango es igual al número de columnas; es decir, matrices cuyas columnas son l.i.)

 

 Factorización QR: Para toda matriz A de tamaño m × n, cuyas columnas son l.i., existe una matriz Q de tamaño m × n, cuyas columnas forman un conjunto ortonormal, y una matriz triangular superior R de tamaño n × n tales que

 

A = QR.

 

Enumera las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio

 

1). El vector cero de V está en H.2


2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en
H, la suma u + v está en H.


3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada
u en H y cada escalar c, el vector u está en H.

 

Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

1.Para cualesquiera dos vectores u y v en V u ⊕ v ∈ V (1) Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma: La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.

 

2.Para cualesquiera dos vectores u y v en V u ⊕ v = v ⊕ u (2) Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma: El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

3.Para cualesquiera tres vectores u, v y w en V u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w (3) Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma: 4 En una suma de vectores, no importa el orden como asocien la sumas entre dos; el resultado será siempre el mismo. 

4.Existe un único vector en V que se simbolizar´a por 0 y que se llamar´a el vector cero tal que para cualquier vector u ∈ V se cumple u ⊕ 0 = 0 ⊕ u = u (4) Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro: Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismo segundo elemento.

5.Para cualquier vector u ∈ V existe un único vector también en V y simbolizado por −u que cumple u ⊕ (−u) = (−u) ⊕ u = 0 (5) Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos: Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con él da el neutro aditivo. 

6.Para cualquier vector u ∈ V y para cualquier escalar c ∈ R se cumple c u ∈ V (6) Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la multiplicación por escalares: El resultado del producto entre cualquier escalar por cualquier elemento del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto. 

7.Para cualesquiera dos vectores u y v en V , y para cualquier escalar c en R se cumple c (u ⊕ v) = (c u) ⊕ (c v) (7) Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la suma (de vectores): En un producto de un escalar por una suma de vectores, da lo mismo realizar la suma de los vectores y el resultado multiplicarlo por el vector que individualmente multiplicar cada vector por el escalar y después sumar los resultados. 

8.Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple (a + b) u = (a u) ⊕ (b u) (8) Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto por escalares sobre la suma escalares.

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