Matrices especiales

MATRICES ESPECIALES

Listado de matrices: identidad, diagonal, triangular, traspuesta, adjunta, simétrica, antisimétrica, definida positiva, diagonalmente dominante, Hessenberg y Vandermonde.

Una matriz de dimensión $n x n$ (mismo número de filas que de columnas) es una matriz cuadrada de dimensión $n$ .

Si el número de filas y el de columnas son distintos, la matriz es rectangular.

Matriz identidad

La matriz identidad de dimensión $n$ , $I_{n}$ , es la matriz de dimensión $n x n$ formada por 1's en la diagonal principal y 0's en las restantes posiciones.

Clasificación de las matrices según su forma en identidad, diagonal, bidiagonal, tridiagonal, triangular, traspuesta, adjunta, simétrica, antisimétrica, definida positiva, diagonalmente dominante, Hessenberg y Vandermonde. Con propiedades y ejemplos. Álgebra matricial. Matrices.

Es decir, la matriz identidad es la matriz cuadrada $A = (a_{i j})$ con $a_{i j} = 1$ si $i = j$ y $a_{i j} = 0$ si $i \neq j$ .

Es el neutro del producto matricial. Es decir, para toda matriz $A$ de dimensión $m x n$ ,
Es idempotente, es decir, sus potencias son ella misma:
Es regular y su matriz inversa es ella misma:
Es una matriz permutación.
Sólo tiene un autovalor (valor propio), que es 1, con multiplicidad algebraica la misma que la dimensión de la matriz.
Matriz diagonal
Una matriz $A = (a_{i j})$ es diagonal cuando los elementos que no están en la diagonal son 0. Es decir, $a_{i j} = 0$ si $i \neq j$ .
Por ejemplo,
La matriz identidad es una matriz diagonal.
Normalmente, las matrices diagonales se escriben indicando su diagonal. Por ejemplo, las matrices anteriores son
Podemos indicar la dimensión si puede dar lugar a confusión:
Matriz bidiagonal:
- Una matriz $A$ es bidiagonal superior si sus todos los elementos por encima de la diagonal 1 y por debajo de la diagonal 0 son 0's.
  Por ejemplo,
- Una matriz $A$ es bidiagonal inferior si sus todos los elementos por encima de la diagonal 0 y por debajo de la diagonal -1 son 0's.
  Por ejemplo,
Matriz tridiagonal:
Una matriz $A$ es tridiagonal si sus todos los elementos por encima de la diagonal 1 y por debajo de la diagonal -1 son 0's.
Por ejemplo,
Las matrices diagonales, bidiagonales y tridiagonales son casos particulares de las matrices banda.
Matriz triangular
Sea $A$ una matriz de dimensión $m x n$ ,
- Es una matriz triangular superior si tiene 0's por debajo de la diagonal, es decir, si $a_{i j} = 0$ para $i > j$ .
  Por ejemplo,
- Es una matriz triangular inferior si tiene 0's por encima de la diagonal, es decir, si $a_{i j} = 0$ para $i < j$ .
  Por ejemplo,
- La matriz traspuesta de una triangular superior es triangular inferior y viceversa.
- Si la matriz es cuadrada, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal. Por tanto, es regular si, y sólo si, los elementos de la diagonal son distintos de 0.
  Por ejemplo,
- La inversa de una matriz triangular superior (inferior) es una matriz triangular superior (inferior).
  Por ejemplo,
- El producto de matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular superior (inferior).
  Por ejemplo,
- Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada triangular son los elementos de la diagonal.
- Matriz traspuesta
  La matriz traspuesta de una matriz $A$ de dimensión $m x n$ es una matriz de dimensión $n x m$ que tiene por columnas a las filas de $A$ . Se denota como $A^{T}$ (o $A^{'}$ si la matriz es real).
  Por ejemplo,
- Matriz adjunta
  Sea $A$ una matriz de dimensión $m x n$ . Su matriz adjunta es la matriz de dimensión $m x n$ definida por $A d j (A) = (a d_{i j})$ siendo
  donde $A^{i, j}$ es la matriz resultante al eliminar la fila $i$ y columna $j$ de $A$ .
  Al elemento $a d_{i j}$ se le llama $(i, j) -$ cofactor (o adjunto) de la matriz $A$ .
  Por ejemplo,
- Matriz simétrica
  Una matriz $A$ es simétrica si es igual a su traspuesta, es decir, $A = A^{T}$ . Como consecuencia de la definición, la matriz $A$ tiene que ser cuadrada.
  Por ejemplo,
- Matriz antisimétrica
  Una matriz $A$ es antisimétrica si es la matriz opuesta de su traspuesta, es decir, $A = - A^{T}$ . Como consecuencia de la definición, la matriz $A$ tiene que ser cuadrada.
  Por ejemplo,
- oda matriz cuadrada $A$ puede escribirse como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica:
- Matriz definida positiva
  Una matriz $A$ de dimensión $m x n$ es definida positiva si para todo vector $x = (x_{1}, . . ., x_{n})$ se cumple
  Si se cumple con la desigualdad $\geq$ , diremos que la matriz es semi definida positiva.
- La suma de definidas positivas es definida positiva.
  El producto de dos matrices definidas positivas es definida positiva si su producto es conmutativo.
  Matriz diagonalmente dominante
  Una matriz $A = (a_{i j})$ cuadrada de dimensión $n$ es diagonalmente dominante por filas (RDD) si
  Por ejemplo,
  Una matriz $A = (a_{i j})$ cuadrada de dimensión $n$ es diagonalmente dominante por columnas (CDD) si
  Por ejemplo,
  Si se cumple con el signo estricto, diremos estrictamente diagonalmente dominante por filas o columnas. Los ejemplos son estrictamente.
  Matriz Hessenberg
  Una matriz cuadrada $A$ de dimensión $n > 1$ es Hessenberg superior si todos los elementos bajo la diagonal -1 son nulos.
  Por ejemplo,
  Una matriz cuadrada $A$ de dimensión $n > 1$ es Hessenberg inferior si todos los elementos sobre la diagonal 1 son nulos.
  Por ejemplo,
  Matriz Vandermonde
  Una matriz cuadrada $A = (a_{i j})$ es de Vandermonde si $a_{i j} = α_{i}^{j - 1}$ .
  Si es de dimensión 3, tiene la forma
  Ejemplo de una matriz Vandermonde de dimensión 4: